Графы задачи на знакомства

Графы и их применение в решении задач

графы задачи на знакомства

Решение этой задачи легко изобразить в виде графа-дерева, похожего на алгоритм. (приложение 2, рис.3). Задачи на группу знакомств. Задача 5. Основные понятия теории графов; Классические задачи теории графов и их графов: построение графа для отображения отношения знакомства. Эта задача дала начало множеству исследований графов. Психолог Курт Левин ввел в психологию схемы, на которых люди обозначались точками.

Обратите внимание, что любой цикл можно представить графически в виде многоугольника, что будет показано позже. Не следует путать графы и графики. Тем не менее это множество точек и линий нельзя назвать графом. Графы обычно используются для представления отношений между элементами конечного множества. Отношения порядка изображаются с помощью ориентированных графов. Связь теории графов и теории множеств более подробно объясняется в Приложении.

Для связных графов имеет смысл определить расстояние между вершинами u и v как минимальное количество ребер, образующих маршрут между u и v.

В приведенных выше двух примерах на рисунке слева изображен связный граф, на рисунке справа — несвязный.

Графы и их применение при решении задач. | Социальная сеть работников образования

Если соответствующие вершины соединены ребром, в ячейке записывается 1, если нет — 0. В подобных задачах канал связи представляется в виде графа: Примеры циклов представлены на следующих рисунках. Подобными графами можно представить маршруты городских автобусов или маршруты патрулей.

Число вершин V равно числу ребер А. Совокупность циклов образует так называемый геометрический граф — плоскую фигуру из вершин точек плоскости и ребер линий, соединяющих некоторые пары вершин. Область, ограниченная ребрами и не содержащая внутри себя вершин и ребер графа, называется гранью. Подсчитать общее число вершин V и число ребер А несложно. При подсчете числа граней С следует учитывать, что внешняя часть плоскости также образует грань, так как она тоже ограничена циклом из вершин и ребер графа.

Таким образом, граф, изображенный на следующем рисунке, имеет 10 вершин, 14 ребер и 6 граней. Графы, в которых любая пара вершин соединена ребром, называются полными. На следующих рисунках приведены полные графы с числом вершин от 2 до 7. Полный граф с n вершинами обозначается Кn. Подсчитать число ребер полного графа Кn очень просто: Эта теорема и ее очень красивое доказательство занимают важное место в теории графов.

Однако эти графы можно изобразить иначе: Новые изображения представлены на следующих рисунках: Граф называется планарным, если его можно изобразить на плоскости так, что его ребра будут пересекаться только в вершинах графа такое изображение называется плоским графом. Заметим, что для анализа планарности графа нужно определить, существует ли эквивалентный изоморфный ему граф, который можно изобразить без ненужных пересечений ребер. Было бы очень удобно, если бы все графы были планарными.

Но так ли это? Прежде чем приступить к поискам ответа на этот вопрос, подумаем над самой известной задачей занимательной математики, посвященной графам. Любой плоский граф можно изобразить так, что его ребра будут отрезками и эти отрезки будут пересекаться только в вершинах графа.

Глава 1 Знакомство с графами. Том Карты метро и нейронные сети. Теория графов

Сложно представить что-то более элегантное. Рядом с их домами находятся три колодца е, f, g. Один из колодцев всегда полон, два других пусты. Соседи хотят проложить дорожки так, чтобы из каждого дома можно было попасть к каждому колодцу.

Никакие две дорожки не должны пересекаться, чтобы каждый мог избежать встреч с соседями. Можно ли проложить девять дорожек таким способом?

Графы и их применение при решении задач.

Такой граф обозначается К3,3. Получилось множество нежелательных пересечений.

графы задачи на знакомства

На рисунке справа тот же граф изображен иначе, но избежать пересечений по-прежнему не удалось. Заметим, что если убрать дорожку от дома Ь к колодцу g, то можно проложить восемь дорожек без пересечений, как показано на двух следующих рисунках. Можно ли добавить к этому графу недостающее ребро так, чтобы не пересекать остальные? Будет уместно привести одно интуитивно понятное утверждение любопытно, что доказать его непросто: Это утверждение носит название теоремы Жордана.

Следовательно, задача о колодцах не имеет решения. Единственный способ, которым можно проложить дорожку из дома Ь к колодцу g — это построить мост, проходящий поверх одной из дорожек. В задаче о колодцах представлен первый пример непланарного графа.

Граф, который мы обозначили К3,3, не является планарным. Еще один простой пример непланарного графа — это полный граф К5 в форме пятиугольника с пятиугольной звездой внутри, изображенный на рисунке: Дальше все будет только усложняться. Таким образом, можно привести бесконечно много примеров непланарных графов. Благодаря теореме, открытой Куратовским, нас ожидает приятный сюрприз. Заметим, что два графа называются гомеоморфными, если после удаления всех вершин степени 2 полученные графы будут идентичными или изоморфными.

Теорема Куратовского звучит так: Он занимался логикой, топологией, теорией множеств, а в году удивил весь мир знаменитой теоремой о планарных графах. Хотя определить планарность графа на практике сложно, теорема Куратовского имеет очень простую формулировку. Если этот граф не является планарным, нужно будет построить несколько этажей и лестниц. Если же полученный граф является планарным, то допустимо расположение всех нужных помещений на одном этаже.

В дереве можно проложить маршрут между любыми двумя вершинами. Далее приведены все возможные деревья с числом вершин от 1 до 8. Последовательность чисел, обозначающих количество всех возможных деревьев для каждого числа вершин, выглядит так: Понятие дерева впервые ввел Кэли в году.

графы задачи на знакомства

Деревья образуют очень важный класс графов, так как в них все вершины соединены минимально возможным числом ребер. Благодаря этому деревья находят интересное применение в самых разных областях: Следующая простая и красивая теорема дает характеристику деревьям, а также имеет крайне важное практическое значение: Это равносильно следующему утверждению: Разумеется, если между двумя произвольными вершинами графа существует единственный путь, граф является связным и не содержит циклов.

Соответствующие расчеты выполняются на основе дерева. На рисунке представлено дерево, соответствующее игре, в которой нужно бросить сначала монету, затем — кубик. В теории игр, которая широко применяется в экономике, подобные представления используют очень. Для расчета вероятностей нужно четко представлять все возможные исходы. Андрей Андреевич Марков — занимался изучением последовательностей случайных событий, которые позднее стали называться цепями Маркова. Цепь Маркова представляет собой ориентированный граф, вершинам которого соответствуют состояния, а дугам — переходы из одного состояния в другое в зависимости от вероятности исходного события, но не всей последовательности предшествующих событий.

Уингфилда и Маркова объединяет работа А. Так, на рисунке вероятности возможных исходов для каждого события соответственно равны 0,6 и 0,4. Зная затраты на установление сообщения между каждой парой городов стоимость строительства дорог, прокладки водо- и газопровода, линий электропередачи, телефонных линийопределите, как можно соединить города самым дешевым способом. Если бы в этой сети существовал цикл, можно было бы удалить одно из его ребер и все города по-прежнему были бы соединены между собой, но уже при меньших затратах.

Соединим два города, для которых стоимость прокладки всех коммуникаций будет наименьшей. Затем соединим один из них с третьим городом, для которого стоимость коммуникаций будет минимальной, и так далее. Как называется множество различных графов, которые являются деревьями? Наверное, вы уже догадались: Вопреки известной пословице, в теории графов за деревьями лес виден.

  • Графы и их применение в решении задач
  • Глава 1 Знакомство с графами
  • Теория графов: основные понятия и задачи. Графы как структура данных

Такое дерево может быть нисходящим и изображать всех потомков одной супружеской пары или восходящим, на котором будут представлены все предки конкретного человека.

В прошлом генеалогические деревья изображались в виде настоящих деревьев с ветвями и листьями. Сегодня благодаря использованию графов генеалогические деревья стали более понятными, пусть и менее живописными. Многие из них представлены в цифровом виде различные программы для составления генеалогических деревьев можно найти в интернете.

В настоящее время в виде генеалогических деревьев также изображают родословные собак, скаковых лошадей, боевых быков, связи политических партий, музыкальных жанров, родственных языков и многое другое.

Быть может, читатель захочет составить свое генеалогическое древо по прочтении этой главы.

графы задачи на знакомства

Наручные часы — это граф с 12 вершинами; в виде геометрических графов можно изобразить план вашей квартиры, посуду, украшения и так далее. Ребрами в них являются улицы и автодороги, вершинами — населенные пункты и города.

Вершины таких графов имеют наименования, ребрам соответствуют числа, обозначающие расстояния в километрах. Таким образом, полученный граф является помеченным и взвешенным.

графы задачи на знакомства

Эта карта автомобильных дорог года — прекрасный пример графа. Иногда подобные графы выглядят еще проще. На следующих рисунках представлены еще две схемы. Графы на схеме проезда от аэропорта до одной из гостиниц Токио. Графы помогают наглядно представить себе схемы общественного транспорта, что облегчает планирование поездки. Те же графы используются при проектировании новых линий и остановок. На схеме нью-йоркского метрополитена в виде графа представлены линии метро изображены цветными ребрамистанции и переходы.

Впервые графы были применены на схемах метро в лондонском метрополитене. Графы авиалиний, на которых из одной точки аэропорта выходит множество линий маршрутоввыглядят намного сложнее. Графы, изображающие транспортные сети, должны быть очень четкими, чтобы на них можно было увидеть не только возможные маршруты, но также переходы между станциями.

Четкость и простота играют решающую роль в создании таких графов, как схема нью-йоркского метро, которое ежедневно обслуживает миллионы пассажиров. Многие дизайнеры потерпели неудачу, так как на их схемах не соединенные друг с другом станции изображались поверх карты города, из-за чего пассажирам было непонятно, какую линию метро нужно выбрать.

Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — в более легкой группе. Поиск фальшивой монеты среди троих: Если чашки придут в равновесие, то фальшивая — третья монета. Если чашки не придут в равновесии, то фальшивая — более легкая монета. Решение этой задачи легко изобразить в виде графа-дерева, похожего на алгоритм. Выбор кинотеатра и сеанса они решили согласовать по телефону.

Было также решено, что если с кем-то созвониться не удастся, то поход в кино отменяется. Вечером у кинотеатра собрались не все, и поэтому посещение кино сорвалось. На следующий день стали выяснять, кто кому звонил. Кто не сумел созвониться и поэтому не пришёл на встречу? Это первые буквы имён. Соединим те точки, которые соответствуют именам созвонившихся ребят. В первенстве класса по настольному теннису 6 участников: Первенство проводят по круговой системе — каждый из участников играет с каждым из остальных один.

К настоящему моменту некоторые игры уже проведены: Сколько игр проведено к настоящему моменту и сколько еще осталось? Получим, что сыграно 7 игр, а осталось — 8. Логическая задача на переливание. В ведре 8 л воды, и имеется две кастрюли емкостью 5 и 3 л. Требуется отлить в пятилитровую кастрюлю 4 л воды и оставить в ведре 4 л.

Ситуацию в каждый момент можно описать тремя числами приложение рис. В результате получаем два решения: Имеется шахматная доска 3x3, в верхних двух углах стоят два чёрных коня, в нижних — два белых рисунок ниже.